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例4.如圖,弓形弦AB=6,弓形高為1,則其所在圓的半徑為_____。
[解析]:作弦AB的垂直平分線,分別交-、弦AB於C、D兩點。則CD為弓形的高,由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線CD上,設圓心O在如圖所示的位置,半徑為r,連結BD,在Rt△BDO中,BD=3,BO=r,OD=r-1,由勾股定理得32+(r-1)2=r2,解得r=5。答案:5
[點評]:此題運用了『垂直弦、平分弦就過圓心且過弧的中點』的垂徑定理的推論。
例5.已知?O的半徑為2cm,弦AB長為2-cm,則這條弦的中點到弦所對劣弧的中點的距離為_____。
[解析]:如圖,取弧AB的中點C,弦AB的中點D,連結CD並延長,由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線CD上,且OC⊥AB。在Rt△ADO中,AD=-,AO=2,由勾股定理可求得OD=1,∴弦的中點到弦所對劣弧的中點的距離CD=2-1=1。
答案:1
[點評]:此題運用了『過弧的中點、過弦的中點就過圓心且垂直於弦』的垂徑定理的推論。
例6.如圖,?O的直徑為10,弦AB為8,P是弦AB上一動點,若OP的長為整數,則滿足條件的點P有____個。
[解析]:過O點作OC⊥AB於C,由垂徑定理可得AC=BC=4,在Rt△ACO中,由勾股定理可求得OC=3,由P點在線段AB上的位置可知當P點運動到C點時,OP最短且長為整數3,當P點運動到A、B兩點時,OP最長且長為整數5,由於數軸上的點與實數具有一一對應的關系,可知A點和C點之間必存在一點P,使OP的長為4,同理B點和C點之間也存在一點P,使OP的長為4。
∴滿足條件的點P一共有5個。
答案:5
[點評]:此題運用了『過圓心、垂直弦,就平分弦』的垂徑定理。
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