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重積分是多元函數積分學中的一部分,主要包括二重積分與三重積分,特別地,二重積分是聯系其他多元函數積分學內容的中心環節,故而它也是核心。
二重積分是三重積分的基礎,在建立了二重積分概念以後,三重積分是其自然的推廣,沒有本質折差別。在計算上看來,二重積分與三重積分都是最終化為定積分來計算的,但三重積分不論是采用『先二後一』還是『先一後二』,都要通過二重積分的計算,所以二重積分在多元函數積分學中有重要的作用,深入理解二重積分的概念,熟練掌握二重積分的計算方法,是學好多元函數積分學的關鍵。
對三重積分來說,計算的基本思路是轉化為定積分,但計算的繁簡取決於坐標系的選擇,而坐標系的選擇取決於積分區域的形狀。一般來說,當積分區域是柱體、錐體或由柱面、錐面、旋轉面與其他曲面所空間立體時,宜利用柱面坐標計算;當積分區域是球體、錐體或球本的一部分時,宜利用球面坐標計算;當積分區域是長方體、四面體或任意形體時,宜利用直角坐標計算。
五、重積分
1.二重積分的計算方法
(1)利用直角坐標計算二重積分