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中考數學:二次函數與圖形變換

http://www.enorth.com.cn  2008-04-22 15:20
 

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  二次函數是初中數學中最精彩的內容之一,也是歷年中考的熱點和難點。其中,關於函數解析式的確定是非常重要的題型。而今年的中考正是面臨新課程改革,教材的內容和學習要求變化較大,其中一個突出的變化就是強化了對圖形變換的要求,那麼二次函數和圖形變化的結合,將是同學們在學習中不可忽視的內容。

  圖形變換包含平移、軸對稱、旋轉、位似四種變換,那麼二次函數的圖像在其圖形變化(平移、軸對稱、旋轉)的過程中,如何完成解析式的確定呢?解決此類問題的方法很多,關鍵在於解決問題的着眼點。筆者認爲最好的方法是用頂點式的方法。因此解題時,先將二次函數解析式化爲頂點式,確定其頂點座標,再根據具體圖形變換的特點,確定變化後新的頂點座標及a值。

  1、平移:二次函數圖像經過平移變換不會改變圖形的形狀和開口方向,因此a值不變。頂點位置將會隨着整個圖像的平移而變化,因此只要按照點的移動規律,求出新的頂點座標即可確定其解析式。

  例1.將二次函數y=x2-2x-3的圖像向上平移2個單位,再向右平移1個單位,得到的新的圖像解析式爲_____

  分析:將y=x2-2x-3化爲頂點式y=(x-1)2-4,a值爲1,頂點座標爲(1,-4),將其圖像向上平移2個單位,再向右平移1個單位,那麼頂點也會相應移動,其座標爲(2,-2),由於平移不改變二次函數的圖像的形狀和開口方向,因此a值不變,故平移後的解析式爲y=(x-2)2-2。

  2、軸對稱:此圖形變換包括x軸對稱和關於y軸對稱兩種方式。

  二次函數圖像關於x軸對稱的圖像,其形狀不變,但開口方向相反,因此a值爲原來的相反數。頂點位置改變,只要根據關於x軸對稱的點的座標特徵求出新的頂點座標,即可確定其解析式。

  二次函數圖像關於y軸對稱的圖像,其形狀和開口方向都不變,因此a值不變。但是頂點位置會改變,只要根據關於y軸對稱的點的座標特徵求出新的頂點座標,即可確定其解析式。

  例2.求拋物線y=x2-2x-3關於x軸以及y軸對稱的拋物線的解析式。

  分析:y=x2-2x-3=(x-1)2-4,a值爲1,其頂點座標爲(1,-4),若關於x軸對稱,a值爲-1,新的頂點座標爲(1,4),故解析式爲y=-(x-1)2+4;若關於y軸對稱,a值仍爲1,新的頂點座標爲(-1,-4),因此解析式爲y=(x+1)2-4。

  3、旋轉:主要是指以二次函數圖像的頂點爲旋轉中心,旋轉角爲180°的圖像變換,此類旋轉,不會改變二次函數的圖像形狀,開口方向相反,因此a值會爲原來的相反數,但頂點座標不變,故很容易求其解析式。

  例3.將拋物線y=x2-2x+3繞其頂點旋轉180°,則所得的拋物線的函數解析式爲________

  分析:y=x2-2x+3=(x-1)2+2中,a值爲1,頂點座標爲(1,2),拋物線繞其頂點旋轉180°後,a值爲-1,頂點座標不變,故解析式爲y=-(x-1)2+2。

  以上內容只是向同學們提供瞭解決此類問題的一種思考方法和解題思路,同學們不妨試一試。

  天津五中張欣(區級優秀教師)

稿源 北方網 編輯 趙晶
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[773609] 安徽省 網友:中 於2009-08-25 09:50 發表評論:

  VERY GOOD 既簡單又方便

[761463] 山西省 網友:(*^__^*)嘻 於2009-08-01 16:52 發表評論:

  是啊 還不會啊

[757100] 貴州省 網友:小魔女 於2009-07-25 12:44 發表評論:

  還可以哦,至少可以看懂一點

[745597] 四川省 網友:豬豬 於2009-07-03 14:42 發表評論:

  好,言簡意賅。

[727777] 安徽省 網友: 於2009-06-11 19:27 發表評論:

  我怎麼看不懂啊、、

[725125] 海南省 網友:餓 於2009-06-07 16:40 發表評論:

  同上。

[724486] 福建省 網友:888555 於2009-06-06 14:28 發表評論:

  多來點二次函數動點問題

[656495] 遼寧省 網友:噬血魔王 於2009-05-12 21:40 發表評論:

  不錯,希望下次總結更全面

[603331] 廣東省 網友:冰火 於2009-04-18 21:35 發表評論:

  知識量太少,總結不全,介紹不具體,不詳細。不能充分開發想像力。

[590287] 江蘇省 網友:陌,小柒 於2009-04-09 09:13 發表評論:

  旋轉的還是不會,,,,,,

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