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08高考數學復習:解析幾何專題熱點指導

http://www.enorth.com.cn  2008-04-28 14:02
 

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圖1
  

圖2  

圖3

  天津市第四十二中學張鼎言

  1.在平面直角坐標系xOy中,過定點C(0,P)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交於A,B兩點。

  (Ⅰ)若點N是點C關於坐標原點O的對稱點,求△ANB面積的最小值;

  (Ⅱ)是否存在垂直於y軸的直線l,使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恆為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由(此題不要求在答題卡上畫圖)。

  解:(1)過C點的直線y=kx+p,k存在。A(x1,y1)、B(x2,y2)

  -x2-2pkx-2p2=0

  △=4p2k2+8p2>0

  x1+x2=2pk,x1x2=-2p2

  如圖:

  S△ANB=S△ANC+S△BNC

  =-|NC|gh1+-|NC|gh2

  =-|NC|g(h1+h2)

  =-·2pg|x2-x1|=p|x2-x1|

  |x2-x1|2

  =(x1+x2)2-4x1x2

  =4p2g(k2+2)

  ∴S△ANB=2p2g-

  ∴當k=0時,

  (S△ANB)min=2-p2

  分析:(2)如示意圖A(x1,y1)、C(0,p)、O'(-,-)

  R=|O'p|=-|AC|

  =--

  =--

  =--

  |O'H|=|--a|

  =-|y1+p-2a|

  |PH|2=|O'P|2-|O'H|2

  =-[(y12+p2)-(y1+p-2a)2]

  =y1(a--)+a(p-a)

  分析上面的式子,A為拋物線上的動點,所以y1是變量,p為常量,a為所求,定值是與變量y1無關的值,即在解析式中消去y1。

  由此,設a=-,|PH|2=-,|PH|=-

  |PQ|=2|PH|=p(定值)

  注:(2)是定值問題的分析方法,要分清常量與變量及變量與所求量。

  2.已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3;最小值為1。

  (Ⅰ)求橢圓C的標准方程;

  (Ⅱ)若直線l,y=kx+m與橢圓C相交於A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證:直線l過定點,並求出該定點的坐標。

  解(1)

  -

  ∴-+-=1

  分析(2)-

  →(4k2+3)x2+8kmx+4(m2-3)=0

  △=64m2k2-16(4k2+3)(m2-3)>0

  →3+4k2-m2>0

  A(x1,y1)、B(x2,y2),D(2,0)

  x1+x2=--

  x1·x2=-

  由幾何條件:AB為直徑的圓過點D,∴|AD|⊥|BD|

  ∴kAD·kBD=-1

  -=-1

  y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)

  =k2x1x2+km(x1+x2)+m2

  =-

  y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0

  -+-+-+4=0

  (7m+2k)(m+2k)=0,這裡m,k均為變量,要求l過定點,只有把m,k代入原方程,m1=--k,m2=-2k

  當l:y=kx--k=k(x--),若,l需與k無關,∴x=-,y=0,定點為(-,0)。

  當l:y=kx-2k=k(x-2),l過點D不合題意.

  注:本題(2)是直線與橢圓相交的基本類型,對直線的要求是過定點。

稿源:北方網 編輯:趙晶
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