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歷年中考數學壓軸題解析(圖)

http://www.enorth.com.cn  2008-05-04 10:19
 

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  新華中學 王洪智

  一年一度的中考即將來臨,同學們已經進入緊張的復習階段。今年是采用新教材的第一年,在二次函數這章裡與往年不同的是增加了《用函數觀點看一元二次方程》和《實際問題與二次函數》的必修內容,充分體現了數學在實際問題中的應用,壓軸題大都與此章有關。在歷年的中考試卷中,同學們最感棘手的是最後一題,也稱壓軸題,它對學生們的基本功要求高,綜合性、技巧性強,從而使同學們產生了畏懼心理,有的同學還沒有看題就認為自己不會做,從而輕易地放棄解答。要想克服這種負誘導心理,就必須增強自信,弄清基本概念、基本定理,熟練掌握基本功以及各個知識點之間的聯系。通常的壓軸題多為『遞進式』,即在大前提下各問之間都有緊密的聯系,由淺入深,由易到難,前一問為下一問埋下伏筆,即使你基本功很差,第一問也是能夠解決的,但要注意解決此類題,常常要依賴於前一問的正確結果,因此做隨後一題時一定要一步一查,步步為營。今天,我們特邀新華中學王洪智老師對天津2002—2007年的數學中考試卷的壓軸題加以分析,供同學們參考。

2002

  已知二次函數y1=x2-2x-3

  (1)結合y1的圖象,確定當x取何值時,y1>0,y1=0,y1<0。

  (2)由(1)的結論確定y2=■(|y1|-y1)關於x的解析式。

  (3)若一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象與y2的圖象交於不同的三個點,確定實數k、b滿足的條件。

  [思路點撥](1)利用數形結合思想,考查了一元二次不等式和一元二次方程。x2-2x-3>0,x2-2x-3=0,x2-2x-3<0。(2)分段討論|y1|=y1(x?-1或x?3);|y1|=-y1(-1

  解:(1)y1=x2-2x-3,令y1=0

  ∴x2-2x-3=0 x1=-1,x2=3

  ∴當y1=0時,x=-1或x=3

  當y1>0時,x<-1或x>3

  當y1<0時,-1

  (2)當x?-1或x?3時,y1?0,|y1|=y1

  ∴y2=x2-2x-3-x2+2x+3=0(x軸)

  當-1

  ∴y2=■(-2y1)=-y1=-x2+2x+3

  (3)要使直線與拋物線有三個不同交點,則只需一次函數與y=-x2+2x+3在-1

  y=kx+b

  y2=-x2+2x+3,整理x2+(k-2)x+(b-3)=0……(*),必須滿足

  △>0……①

  -1<-■<3……②

  當x1=-1時y>0……③

  當x=3時y>0……④

  由① b<■(k-2)2+3

  由② -4

  由③④ b>k

  b>-3k

  當k>0時     當k<0時

  b>k

  b>-3k

  

  綜上所述

  -4

  -3k

  或 0

  k

  [歸納點評]此題的難點為一般直線和拋物線相交有兩個或一個或0個交點,如何有三個交點呢?就是因為它是一個分段函數,當x?-1或x?3時,y2=0是x軸,此直線與x軸必有一個交點,外加與拋物線的兩個交點所以有三個交點,寫k、b滿足條件時最好畫數軸。

  2003

  關於x的方程x2-(p+q+1)x+p=0(q?0)的二根為α、β,且α<β

  (1)用含α、β的代數式表示p、q

  (2)求證α?1?β

  (3)若以α、β為坐標,M(α、β)在△ABC三邊上移動且△ABC中A(1,2),B(■,1),C(1,1),問是否存在M,使p+q=■。若存在,求M的坐標,若不存在,說明理由。

  [思路點撥](1)由根與系數的關系x1+x2=-■,x1·x2=■(2)由一根大於等於1,一根小於等於1,需要證明(x1-1)(x2-1)?0,即x1x2-(x1+x2)+1?0,把兩根積與和代入,得出-q?0 (3)分類討論:①當M在BC邊上時,利用p+q=■,分別求出α、β值再檢驗。②當M在AC邊上時同法,得出α、β值檢驗。③當M在AB邊上,求出直線AB解析式,再把點代入即可。

  解:(1)由根與系數的關系

  α+β=p+q+1

  α·β=p

  ∴p=αβ,q=α+β-αβ-1

  (2)由(α-1)(β-1)=αβ-(α+β)+1=p-p-q-1+1=-q<0(因為q?0)

  即(α-1)(β-1)?0 ∴α?1?β

  (3)1°當M(α、β)在BC邊上時

  ∵B(■,1),C(1,1)

  ∴■?α?1

  ∵β=1,又∵p+q=α+β-1=■

  ∴α+1-1=■,α=■>1

  ∴BC邊上不存在M

  2°當M(α、β)在AC邊上,A(1,2),C(1,1)得α=1,1?β?2

  由α+β-1=■ ∴β=1-α+■=■

  ∴1?■?2滿足條件

  ∴AC邊上存在點M(1,■)

  3°當M在AB邊上時,A(1,2), B(■,1)

  ∴直線AB:y=2x,設M(α,2α)

  又∵p+q=α+β-1=■

  ∴α+2α=■,α=■

  β=2α=■ ∴M(■,■)

  ∴在△ABC的AC邊和AB邊存在M(1,■)和M(■,■)

  [歸納點評]此題難點在第(2)問,若使α?1?β,則必有(α-1)(β-1)?0,第(3)問求AB上的點采用求直線AB的解析式比較簡便,減少運算量節省了時間。

  2004

  已知函數y1=2x,y2=x2+1

  (1)根據表中的x值計算y1、y2的值。

  (2)觀察(1)中的表在實數范圍內對於x的同一個值,這兩個函數對應的值y1?y2成立。

  (3)試問是否存在y3=ax2+bx+c過(-5,2),且在實數范圍內對於同一個x值對應的y1?y3?y2均成立,若存在求y3,若不存在說明理由。

  [思路點撥](1)代入求值(2)利用比差法看y1-y2的值(3)關鍵求出a的值,根據條件求出b、c用a表示,把點(-5,2)代入可得一個關系式25a-5b+c=0,再由對於同一x值有y1?y3?y2,得a+b+c=2,從而用a表示b、c,再由y1?y3,y3?y2定出a的值。

  解:(1)填表  

  (2)y1-y2=2x-x2-1=-(x-1)2?0

  ∴無論x為何實數均有y1?y2

  (3)把點(-5,2)代入y3=ax2+bx+c得

  25a-5b+c=2……①

  ∵對於x的同一個值,有y1?y3?y2,即當x=1時,y1=2?a+b+c?2=y2

  ∴a+b+c=2……②

  由①②得b=4a,c=2-5a

  ∴y3=ax2+4ax+(2-5a)

  由已知y1?y3

  ∴2x?ax2+4ax+(2-5a)

  整理:ax2+(4a-2)x+(2-5a)?0

  a>0

  △?0

  ∴△=(4a-2)2-4a(2-5a)?0

  ∴(3a-1)2?0 ∴a=■

  又由已知y3?y2

  ∴ax2+4ax+(2-5a)?x2+1

  整理:(a-1)x2+4ax+(1-5a)?0

  a-1<0

  △?0

  △=(4a)2-4(a-1)(1-5a)?0

  ∴(3a-1)2?0

  ∴3a-1=0

  a=■ ∵a<1    ∴a=■

  綜上所述y3=■x2+■x+■即為所求。

  [歸納點評]此題難點在第(3),第一個a、b、c的關系式比較簡單,直接把點代入,而第二個關系式是由表中看出,當x=1時,y1=y2=2,而y3夾在中間,從而可得a+b+c=2,由y1?y3求出a的值,再由y3?y2求出a的值,均為■。

  2005

  已知二次函數y=ax2+bx+c

  (1)若a=2,c=-3,且二次函數過(-1,-2),求b

  (2)若a=2,b+c=-2,b>c過(p,-2)點,求證b?0

  (3)若a+b+c=0,a>b>c,且過(q,-a),試問當自變量x=q+4時y=ax2+bx+c所對應的函數值是否大於0,並證明結論

  [思路點撥](1)把值分別代入即可求b的值。

  (2)把已知條件代入解析式得關於p的方程,再利用『△』討論b的范圍從而證得b?0。

  (3)由a+b+c=0知二次方程 ax2+bx+c=0必有一根為1,由根與系數的關系可求出q+4的取值范圍。再把點(q,-a)代入拋物線解析式,由△?0可得a>b?0,從而可求出當x=q+4時y>0。

  解:(1)當a=2,c=-3,y=2x2+bx-3,又過(-1,-2)點 ∴b=1

  (2)當a=2,b+c=-2,二次函數化為y=2x2+bx-(b+2)過(p,-2),把點代入得2p2+bp-b=0 ∴p是此方程的根

  △=b2+8b=b(b+8)

  又     b+c=-2

  b>c

  ∴b>-b-2

  ∴b>-1

  ∴b+8>0 ∴b?0

  (3)由 a+b+c=0

  a>b>c ∴a>0,c<0

  又知ax2+bx+c=0有一根為1,由根與系數關系

  x1+x2=-■

  x1·x2=■

  不妨設x1=1

  ∴x2=■    又∵過(q,-a)點

  當x=q時,y=-a<0 ∴■

  ∴■+4

  再把點(q,-a)代入拋物線y=ax2+bx+c得aq2+bq+c+a=0 (q為方程的根)

  ∴△=b2-4a(a+c)=b2-4a(-b)=b2+4ab=b(b+4a)=b(3a-c)?0

  a>0

  c<0

  ∴b?0 ∵a>b?0

  2a?a+b=-c

  2a>-c

  ∴■>-2

  ∴■+4>-2+4=2>1

  ∴q+4>1

  ∴當x=q+4時,y的值大於0

  [歸納點評]難點在(3)采用了數形結合思想,把點(q,-a)代入解析式,當x=q時y=-a<0(∵a>0)

  ∴可知y的值在x軸下方

  即x21,則y>0。

  2006

  已知拋物線y=ax2+bx+c頂點為(2,4)

  (1)試用含a的代數式表示b、c。

  (2)若直線y=kx+4(k≠0)與y軸及拋物線依次交於D、E、F且

  S△ODE:S△OEF=1:3,O為坐標原點,試用含a的代數式表示k。

  (3)在(2)的條件下若線段EF的長為m,且滿足3■?m?3■,試確定a的取值范圍。

  [思路點撥](1)把頂點代入即可求得b=-4a,c=4a+4(2)直線和拋物線相交聯立解方程組設出E、F的坐標,把面積比S△ODE:S△OEF=1:3可化為xE:xF=1:4,從而確定k的值。

  (3)分類討論,由(2)得k=a或k=-9a,m2=EF2=(xE-xF)2+(yE-yF)2代入3■?m?3■,從而定出a的范圍。

  解:(1)∵頂點為(2,4),設拋物線的解析式為y=a(x-2)2+4=ax2-4ax+4a+4

  ∴b=-4a,c=4a+4

  (2)直線與拋物線相交

  y=kx+4

  y=ax2-4ax+4a+4

  整理:ax2-(4a+k)x+4a=0……(*)

  設E(xE,yE),F(xF,yF)

  xE+xF=■……①

  xE·xF=4……②

  由②知xE、xF同號

  S△ODE:S△OEF=1:3即S△ODE:S△ODF=1:4

  ■OD·|xE|:■OD·|xF|=1:4

  ∴xE:xF=1:4,把xF=4xE代入②

  解得xF=4,xE=1或xF=-4,xE=-1

  ∴由①■=±5

  ∴k=a或k=-9a

  經檢驗k=a,k=-9a,△>0,是方程(*)的根。

  (3)由勾股定理m2=(xF-xE)2+(yF-yE)2

  而(xF-xE)2=9

  由yF=kxF+4,yE=kxE+4得(yF-yE)2=k2(xF-xE)2=9k2

  ∴m2=9(1+k2) ∴m=3■

  由已知3■?m?3■

  ∴■?■?■,即1?k2?4

  ∴1?k?2或-2?k?-1

  當k=a時,有1?a?2或-2?a?-1

  當k=-9a時有1?-9a?2或-2?-9a?-1

  即-■?a?-■,或■?a?■

  [歸納點評]第(2)還可以用兩點間距離公式,有E(xE,yE),F(xF,yF),則m=EF=■,直接代入3■?m?3■,可求a的范圍。

  2007

  已知關於x的一元二次方程x2+bx+c=x有兩個實數根x1、x2,且滿足x1>0,x2-x1>1

  (1)證明c>0

  (2)證明b2>2(b+2c)

  (3)對於二次函數y=x2+bx+c,若自變量取值為x0,其對應的值為y0,當0

  [思路點撥](1)把方程化為一般式,再由根與系數的關系及已知條件可得c>0(2)由根的判別式△>0可得(3)把(x0,y0)代入拋物線解析式,把x1代入方程,再用比差法即y0-x1的正負來確定。

  解:(1)把方程化為x2+(b-1)x+c=0

  x1+x2=1-b,x1·x2=c……①

  由已知x1>0,x2-x1>1

  ∴x2>x1+1>0……②

  由①②知c>0

  (2)方程x2+(b-1)x+c=0

  x1、x2為不等實根

  ∴△=(b-1)2-4c>0

  b2>2b+4c=2(b+2c)

  (3)當0x1

  把(x0,y0)代入拋物線解析式y0=x02+bx0+c

  把x1代入方程x1=x12+bx1+c

  y0-x1=x02-x12+b(x0-x1)=(x0-x1)(x0+x1+b)

  由已知x0

  又∵x2-x1>1 ∴x2>x1+1

  兩邊同加x1得

  x1+x2>2x1+1(x1+x2=1-b)

  ∴1-b>2x1+1,2x1+b<0(∵0

  ∴y0-x1>0 ∴y0>x1

  [歸納點評]第(2)問可采用2007年標答上的方法,同學們對照看哪種簡單,第(3)問用比差法。

  以上是我們對壓軸題的分析,有的采用了與標答不同的解法,僅供參考。

  ∴

  {

  {

  ∴b>k

  {

  {

  {

  {

  {

  ∴b>-3k

  b>k

  b>-3k

  x    -3 -2 -1 0 1 2 3

  y1=2x -6 -4 -2 0 2 4 6

  y2=x2+1 10 5 2 1 2 5 10

  x    -3 -2 -1 0 1 2 3

  y1=2x

  y2=x2+1

  ∴

  {

  ∴

  {

  {

  {

  ∵

  {

  ∵

  {

  {

  ∴3a-c>0

  ∴

  {

  {

稿源:北方網 編輯:趙晶
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