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高考數學:解析幾何專題熱點復習指導

http://www.enorth.com.cn  2008-05-04 10:19
 

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  天津市第四十二中學 張鼎言

  ■g■

  =■+m2

  =2(1-2m)+■+m2

  當m=1時,■g■=-1

  此時C(1,0)

  當AB⊥x軸時,A(2,■)、B(2,-■),

  ■g■=(1,■)·(1,-■)=-1。有同樣的定值-1。

  ∴定點C(1,0)為所求

  注:本題對(1)(2)方法的分析、比較,可進一步把握直線與二次曲線相交,不同的條件采用不同的方法。

  4. 已知動圓過定點(■,0),且與直線x=-■相切,其中p>0。

  (Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程;

  (Ⅱ)設A、B是軌跡C上異於原點O的兩個不同點,直線OA和OB的傾斜角分別為α和β,當α,β變化且α+β為定值θ(0<θ<π)時,證明線AB恆過定點,求出該定點的坐標。

  解:(Ⅰ)設動圓圓心為P(x,y)

  由已知P到定點(■,0)與到直線x=-■的距離相等,這恰是拋物線定義。可知動圓圓心P的軌跡方程為y2=2px(P>0);

  (Ⅱ)設A(■,y1),B(■,y2),直線lOA的傾斜角為α直線lOB的傾斜角β,α+β=θ(定值),tanα=■=■,tanβ=■=■

  直接設直線lAB:y=kx+b

  在y=kx+b中,若k=0,直線lAB∥x軸這不可能,或α=β=0也與α+β=θ>0矛盾,所以k≠0。所以直線lAB與拋物線聯立

  ■

  △=4p2-8kpb>0,p>2kb,y1+y2=■,y1·y2=■

  若θ≠■時,

  tanθ=tan(α+β)

  =■=■

  =■=■

  由此求出b=■+2pk,

  y=kx+b=kx+■+2pk

  =k(x+2p)+■

  若x=-2p,y=■,p,tanθ均為定值

  ∴lAB恆過定點(-2p,■)

  若θ=■時,α+β=■,

  tanα·tanβ=1

  tanα·tanβ=■=1

  4p2=y1·y2=■,b=2pk

  y=kx+b=kx+2pk=k(x+2p),直線lAB恆過定點(-2p,0)

  (七)有關角的問題

  復習導引:處理角的問題有兩條途徑,如第一題用向量數量積的方法。第2題用夾角公式。在解決角的問題時要注意『轉化』,如第3題的分析。

  1. 設F1、F2分別是橢圓■+y2=1的左、右焦點。

  (Ⅰ)若P是該橢圓上的一個動點,求■g■的最大值和最小值;

  (Ⅱ)設過定點M(0,2)的直線l與橢圓交於不同的兩點A、B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點),求直線l的斜率k的取值范圍。

  解:(1)a=2,b=1,c=■

  F1(-■,0),F2(■,0),P(x,y),

  ■·■

  =(-■-x,-y)·(■-x,-y)

  =x2+y2-3=x2+1-■-3=■x2-2

  當x=0時,(■·■)min=-2

  當x=±2時,(■·■)max=1

  分析:(2)l為過M(0,2)的直線,y=kx+2

  聯立■其交點A(x1,y1)、B(x2,y2)。

  ∵∠AOB為銳角,這是幾何條件,可轉化為

  ■·■=|■|·|■|·cos∠AOB>0 即x1x2+y1y2>0

  ∴可通過上面的方程組,用根與系數的關系列出關於k的不等式

  ■+(kx+2)2=1

  →(4k2+1)x2+16kx+12=0

  ∴x1+x2=■,x1·x2=■

  △=(16k)2-4(4k2+1)·12>0

  →k<-■或k>■

  x1·x2+y1·y2=(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+4=■>0→-2

  ∴-2

  注: 第(Ⅱ)是用向量數量積的不等量關系表述幾何條件∠AOB為銳角,整個解題過程仍然是直線與橢圓相交。

  2. 橢圓■+■=1(a>b>0)與過點A(2,0)B(0,1)的直線有且只有一個公共點T,且橢圓的離心率e=■

  (Ⅰ)求橢圓方程;

  (Ⅱ)設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點,M為線段AF2的中點,求證:∠ATM=∠AF1T。

  解:(Ⅰ)由已知e=■=■→a2=4b2,原橢圓方程簡化為■+■=1, 過A、B的直線lAB:■+y=1。

  lAB與橢圓相切■

  →2y2-2y+(1-b2)=0,

  △=0→b2=■

  故所求的橢圓方程為

  ■+■=1。切點T(1,■)。

  (Ⅱ)F1(-■,0),F2(■,0),M(1+■,0)

  kTA=-■ kTM=-■

  kTF1=-1+■

  tan∠ATM=-1+■,tan∠AF1T=-1+■

  又∠ATM、∠AF1T均為銳角

  ∴∠ATM=∠AF1T

  注:本題是用兩條直線夾角公式證角等。

  (未完待續)

稿源:北方網 編輯:趙晶
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