天津市第四十二中學 張鼎言
■g■
=■+m2
=2（1-2m）+■+m2
當m=1時，■g■=-1
此時C（1，0）
當AB⊥x軸時，A（2，■）、B（2，-■），
■g■=（1，■）·（1，-■）=-1。有同樣的定值-1。
∴定點C（1，0）為所求
注：本題對（1）（2）方法的分析、比較，可進一步把握直線與二次曲線相交，不同的條件采用不同的方法。
4. 已知動圓過定點（■，0），且與直線x=-■相切，其中p>0。
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設A、B是軌跡C上異於原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當α，β變化且α+β為定值θ（0<θ<π）時，證明線AB恆過定點，求出該定點的坐標。
解：（Ⅰ）設動圓圓心為P（x，y）
由已知P到定點（■，0）與到直線x=-■的距離相等，這恰是拋物線定義。可知動圓圓心P的軌跡方程為y2=2px（P>0）;
（Ⅱ）設A（■，y1），B（■，y2），直線lOA的傾斜角為α直線lOB的傾斜角β，α+β=θ（定值），tanα=■=■，tanβ=■=■
直接設直線lAB:y=kx+b
在y=kx+b中，若k=0，直線lAB∥x軸這不可能，或α=β=0也與α+β=θ>0矛盾，所以k≠0。所以直線lAB與拋物線聯立
■
△=4p2-8kpb>0，p>2kb，y1+y2=■，y1·y2=■
若θ≠■時，
tanθ=tan（α+β）
=■=■
=■=■
由此求出b=■+2pk，
y=kx+b=kx+■+2pk
=k（x+2p）+■
若x=-2p，y=■，p，tanθ均為定值
∴lAB恆過定點（-2p，■）
若θ=■時，α+β=■，
tanα·tanβ=1
tanα·tanβ=■=1
4p2=y1·y2=■，b=2pk
y=kx+b=kx+2pk=k（x+2p），直線lAB恆過定點（-2p，0）
（七）有關角的問題
復習導引：處理角的問題有兩條途徑，如第一題用向量數量積的方法。第2題用夾角公式。在解決角的問題時要注意『轉化』，如第3題的分析。
1. 設F1、F2分別是橢圓■+y2=1的左、右焦點。
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求■g■的最大值和最小值；
（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交於不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍。
解：（1）a=2，b=1，c=■
F1（-■，0），F2（■，0），P（x，y），
■·■
=（-■-x，-y）·（■-x，-y）
=x2+y2-3=x2+1-■-3=■x2-2
當x=0時，（■·■）min=-2
當x=±2時，（■·■）max=1
分析:（2）l為過M（0，2）的直線，y=kx+2
聯立■其交點A（x1，y1）、B（x2，y2）。
∵∠AOB為銳角，這是幾何條件，可轉化為
■·■=|■|·|■|·cos∠AOB>0 即x1x2+y1y2>0
∴可通過上面的方程組，用根與系數的關系列出關於k的不等式
■+（kx+2）2=1
→（4k2+1）x2+16kx+12=0
∴x1+x2=■，x1·x2=■
△=（16k）2-4（4k2+1）·12>0
→k<-■或k>■
x1·x2+y1·y2=（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4=■>0→-2
∴-2
注： 第（Ⅱ）是用向量數量積的不等量關系表述幾何條件∠AOB為銳角，整個解題過程仍然是直線與橢圓相交。
2. 橢圓■+■=1（a>b>0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=■
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF2的中點，求證：∠ATM=∠AF1T。
解：（Ⅰ）由已知e=■=■→a2=4b2，原橢圓方程簡化為■+■=1， 過A、B的直線lAB:■+y=1。
lAB與橢圓相切■
→2y2-2y+（1-b2）=0，
△=0→b2=■
故所求的橢圓方程為
■+■=1。切點T（1，■）。
（Ⅱ）F1（-■，0），F2（■，0），M（1+■，0）
kTA=-■ kTM=-■
kTF1=-1+■
tan∠ATM=-1+■，tan∠AF1T=-1+■
又∠ATM、∠AF1T均為銳角
∴∠ATM=∠AF1T
注：本題是用兩條直線夾角公式證角等。
(未完待續)
