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例7.如圖,?O的兩條弦AB、CD相交於點P,E、F分別是AB、CD的中點,且PE=PF,求證:AB=CD。
[全解]:如圖7-1,連結OB、OD
∵OE過圓心且E為AB的中點
∴OE⊥AB ∴∠OEP=90°
同理∠OFP=90°
∵PE=PF ∴∠PEF=∠PFE
∵∠OEF=90°-∠PEF,∠OFE=90°-∠PFE
∴∠OEF=∠OFE ∴OE=OF
在Rt△OEB和Rt△OFD中
∵OE=OF,OB=OD
∴Rt△OEB?Rt△OFD
∴BE=DF
∵E、F分別為AB、CD的中點
∴AB=CD
[點評]:此題運用了『過圓心、平分弦,就垂直弦』的垂徑定理的推論。
例8.已知,?O的半徑OA=1,弦AB、CD的長分別為-、-,求∠BAC的度數。
[全解]:作OD⊥AB於點D,OE⊥AC於點E
∴D為AB的中點,AD=-;E為AC的中點,AE=-。在Rt△ADO中,由勾股定理可得OD=AD=-,∠DAO=45°,同理∠EAO=30°。
當AB、AC位於OA兩側時,∠BAC=∠BAO+∠CAO=75°(如圖8-1)
當AB、AC位於OA同側時,∠BAC=∠BAO-∠CAO=15°(如圖8-2)
[點評]:此題運用了『過圓心、垂直弦,就平分弦』的垂徑定理。
例9.如圖,已知AB和CD為?O的兩條直徑,∠AOC=60°,P為-上的一個動點(不包括B、C點),且PE⊥OC,PF⊥OB,點E、F為垂足。
⑴∠P的大小是否隨P點的變化而變化?若不變化,求∠P的度數;若變化,請說明理由;
⑵若P為-的中點時,求EF:OA的值。
[全解]:⑴隨著點P的變化,∠P的大小不變。
∵∠AOC=60°∴∠COB=120°
在四邊形PEOF中
∵PE⊥OC,PF⊥OB
∴∠P=180°-120°=60°
⑵如圖
∵AB是?O的直徑,P為-的中點,PF⊥OB
∴PF過圓心O
∴點F與點O重合
在Rt△POE中
∵∠P=60°∴∠POE=30°
∴PE:OE:OP=1:-:2
∵EF=OE,OA=OP,EF:OA=OE:OP=-:2
[點評]:此題運用了『過弧的中點、垂直弦,就過圓心』的垂徑定理的推論。
總之,垂徑定理及推論揭示了垂直於弦的直徑和這條弦以及這條弦所對的兩條弧之間的內在關系,它包含了五個元素:①過圓心②垂直弦③平分弦④平分優弧⑤平分劣弧,在上述5個元素中任意兩個組成題設,都能推出其他的三個結論;但要注意的是當①過圓心與③平分弦組成題設時,被平分的弦不能是直徑。