三、判別式法
例3.求下面函數的值域
y=-
解:x∈R由y=-得yx2-3x+4y=0
當y=0時,x=0;
當y≠0時,由0
y∈[--,-]
說明:將函數轉化爲關於x的二次方程f(x,y)=0通過方程有實根,從而求得原函數的值域,這種方法叫判別式法。在利用判別式法時要注意二次項係數是否爲0。
四、不等式法、函數的單調性法
例4.求下列函數的值域
(1)y=-
解:x∈{x│x≠2}
設t=2x-4(t≠0),
x=-
y=-=-
=-t+-
利用均值不等式當t>0,y1;當t<0,y-1 ∴y ∈{y│y-1或y1}
(2)y=-
解:x∈R,y=-+-
設t=-(t2)
∵y=t+-(t2)爲增函數,
∴y2+-=- y∈[-,+∞)
說明:一般的,形如二次式與一次式的比,一次式與二次式的比,二次式與二次式的比,多可以採用分離常數的方法,轉化爲y=t+-+c,a、c爲常數,再利用不等式求出函數的值域,要注意驗證等號的成立條件,如等號不能取得,應利用y=t+-的單調性求解。
五、數形結合
例5.求下列函數的值域
(1)y=-
解:x∈R,y=-可看作單位圓外一點P(-2,0)與圓x2+y2=1上的點的所連線段的斜率,
y∈[--,-]
(2)y=-+-
解:x∈R
y=-+-
可看作x軸上一動點P(x,0)與兩個定點(-1,1),(1,1)所連線段的長度之和。
y∈{y│y2-}
說明:在運用數形結合求函數的值域時,應注意轉化函數的幾何意義。常見的數形結合有:單位圓,斜率,距離等。
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