10.已知數列{xn},{yn}滿足x1=x2=1,y1=y2=2,並且
-=λ-,-λ-(λ爲非零參數,n=2,3,4,…)
(Ⅰ)若x1,x3,x5成等比數列,求參數λ的值;
(Ⅱ)當λ>0時,證明--(n∈N*);
當λ>1時,證明-+-+…+-<-(n∈N*)
解(Ⅰ)n=2 -=λ-→x3=λ;n=3 -=λ-→x4=λ3
n=4 -=λ-→x5=λ6
∵x1,x3,x5成等比
∴x32=x1·x5→λ2=λ6,λ≠0
∴λ=±1
(Ⅱ)-=λ-=λ2-=…=λn-1-,∴-=λn-1
y1=y2=2>0,λ>0→yn>0
-λ-λ2-…λn-1-
∴-λn-1→--
∴--
(Ⅲ)由已知x1=x2=1,y1=y2=2,y3λy2,x3=λx2又λ>1,∴y3>x3
進一步易推得yn>xn
-=-,yn+1-xn+1λn-1yn-λn-1xn=λn-1(yn-xn)>0
--
--=-
∴--,(n2)
-+-+…+-1+-+…+-<-=-
注:第(Ⅱ)問是用逐次代入法解決等量與不等量遞推。
(三)綜合題與應用題
綜合題主要是數列與函數,數列與不等式的綜合.數列部分的應用題是以“增長率”爲基礎加以變化.
1.已知二次函數y=f(x)的圖像經過座標原點,其導函數爲f'(x)=6x-2,數列{an}的前n項和爲Sn,點(n,Sn)(n∈N*)均在函數y=f(x)的圖像上。
(Ⅰ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設bn=-,Tn是數列{bn}的前n項和,求使得Tn<-對所有n∈N*都成立的最小正整數m。
解(Ⅰ)∵f(x)的圖像經過座標原點
∴f(0)=c=0
又f'(x)=2ax+b=6x-2
∴a=3,b=-2
∴f(x)=3x2-2x
Sn=f(n)=3n2-2n, a1=S1=1
Sn-1=3(n-1)2-3(n-1)
an=Sn-Sn-1=6n-5,n2
a1=1也滿足上式
∴an=6n-5,(n=1,2,…)
(Ⅱ)bn=-=-[---]
Tn=-(1--)<-
m>10--
g(n)=10--,n↑,g(n)↑
-g(n)=10 ∴m=10
注:本題是函數與數列綜合,第(Ⅱ)問要有極限思想。
2.已知An(an,bn)(n∈N*)是曲線y=ex上的點,a1=a,Sn是數列{an}的前n項和,且滿足Sn2=3n2an+Sn-12,an≠0,n=2,3,4,…
(Ⅰ)證明:數列{-}(n2)是常數列;
(Ⅱ)確定a的取值集合M,使a∈M時,數列{an}是單調遞增數列;
(Ⅲ)證明:當a∈M時,弦AnAn+1(n∈N*)的斜率隨n單調遞增。
解:(Ⅰ)Sn2-S2n-1=3n2gan,
(Sn+Sn-1)gan=3n2gan,n2,an≠0
∴Sn+Sn-1=3n2
Sn+1+Sn=3(n+1)2
兩式相減:Sn+1-Sn-1=6n+3
∴an+1+an=6n+3
an+2+an+1=6n+9
又兩式相減an+2-an=6,n2
-=-=-=e6。得證
分析(2)由Sn+Sn-1=3n2
n=2:S2+S1=12→a2=12-2a
由an+1+an=6n+3
n=2:a3=3+2a
n=3:a4=18-2a
a2,a4,…,a2k是以a2爲首項,公差爲6的等差遞增數列。
a3,a5,…,a2k-1是以a3爲首項,公差爲6的等差遞增數列。
若{an}爲遞增數列,應有a1
-
證明(3)kn=-,kn+1=-
分析:{an}↑,{-}↑,要證{kn}↑
注意到,{an}不是以6爲公差的等差遞增數列,用比較法kn+1-kn在計算中顯然行不通。過去是“量”的轉換,現在把數列轉換成函數,用函數單調性解決數列的單調性。
設函數f(x)=-
f'(x)=-,需證f'(x)>0,可推出f(x)↑
又設g(x)=ex(x-x0)-(ex--)
g'(x)=ex(x-x0)
xx0
g'(x)>0,g(x)↑,
∴x=x0是g(x)唯一極小值點。
∴g(x)>g(x0)=0,即g(x)>0
∴f'(x)>0,f(x)↑
單調區間(-∞,x0)∪(x0,+∞)
上面是把數列轉化爲函數,下面還要把函數轉化爲數列。
令x0=an,an
∴-<-
再令x0=an+2,an
->-
∴kn
注:數列也是函數,用處理函數的思路,與方法也適用於數列,關鍵是抓住“轉化”的轉折點。
天津市第四十二中學張鼎言
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