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高考數學:數學思想在計數與概率中的應用

http://www.enorth.com.cn  2008-04-21 10:23
 

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  北師大天津附中潘長虹

  計數與概率問題在近幾年的高考中都加大了考查的力度,每年都以解答題的形式出現。在復習過程中,由於知識抽象性強,學習中要注重基礎知識和基本方法,不可過深,過難。復習時可從最基本的公式,定理,題型入手,恰當選取典型例題,構建思維模式,造成思維依托和思維的合理定勢。

  另外,要加強數學思想方法的訓練,這部分所涉及的數學思想主要有:分類討論思想、等價轉化思想、整體思想、數形結合思想,在概率和概率與統計中又體現了概率思想、統計思想、數學建模的思想等。在復習中應有意識用數學思想方法指導解題,不可就題論題,將問題孤立,片面強調單一知識和題型。

  能力方面主要考查:運算能力、邏輯思維能力、抽象思維能力、分析問題和解決實際問題的能力。在高考中本部分以考查實際問題為主,解決它不能機械地套用模式,而要認真分析,抽象出其中的數量關系,轉化為數學問題,再利用有關的數學知識加以解決。

  例1.一次擲兩顆骰子,求點數和恰為8這一事件A的概率。

  分析:這實際上是一個等可能事件的概率。擲兩個骰子出現的基本結果如下表:

 


  解:表中基本結果36個,而點數為8的有5個,故:P(A)=-

  評述:本題可歸結為擲骰子問題,通過對擲骰子情況的研究得出各種概率數學模型,體現了數學建模的思想:

  (1)、投擲一顆均勻的骰子,研究出現各種點的情況,這是等可能事件的概率,各點出現的概率為1/6。

  (2)、同時投擲兩顆均勻的骰子,研究出現各種點的情況,可列一表格或用坐標系表示。

  (3)、同時投擲n顆均勻的骰子,研究出現各種點的情況,可看作n次獨立事件的概率。

  例2.同時擲四枚均勻硬幣,求:

  (1)恰有兩枚正面朝上的概率;

  (2)至少有兩枚正面朝上的概率。

  分析:因同時拋擲四枚硬幣,可認為四次獨立重復試驗。

  解: (1)問中可看作『4次重復試驗中,恰有2次發生』的概率:

  ∴P4(2)=C42(-)2·(1--)2=-=-

  (2)問中,可考慮對立事件『至多有一枚正面朝上』

  故P=1-P4(0)-P4(1)=1-C40(-)0(1--)4-C41(-)1(1--)3=-

  評述:研究各種擲硬幣的情況,抽象出其數學本質,再利用概率知識解決,這就是數學建模的過程。這一問題可推廣到n枚均勻硬幣同時投擲的情況。

稿源:北方網 編輯:趙晶
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