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天津市第四十二中學張鼎言
3.已知雙曲線x2-y2=2的左、右焦點分別爲F1，F2，過點F2的動直線與雙曲線相交於A，B兩點。
(Ⅰ)若動點M滿足-=-+-+-(其中O爲座標原點)，求點M的軌跡方程；
(Ⅱ)在x軸上是否存在定點C，使-·-爲常數？若存在，求出點C的座標；若不存在，請說明理由。
分析：(1)---=1，a2=b2=2→c=2
F1(-2，0). F2(2，0).A(x1，y1).B(x2，y2)，M(x，y)
-=(x+2，y)，-=(x1+2，y1)，
-=(x2+2，y2)，-=(2，0)
x+2=x1+2+x2+2+2=x1+x2+6
x1+x2=x-4
y1+y2=y
若A(x1，y1).B(x2，y2)在---=1上，有---=1，---=1用(四)第四題方法，兩式相減-=-而(-，-)恰是AB中點，當AB與x軸不垂直時，-恰是AB直線的斜率。
設N爲AB中點，N(-，-)，又kAB=kNF2·-=-(*)
當AB與x軸不垂直時，
-=-=-
把中點N座標，及kNF2代入(*)式，得出(x-6)2-y2=4。
當AB⊥x軸：x1=x2=2，y1=-y2，
∴x=8，y=0
同樣滿足(x-6)2-y2=4
分析(2)假設存在C(m，0)，
-g-=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2
A(x1，y1).B(x2，y2)爲雙曲線與直線y=k(x-2)兩交點，m爲所求參數.
此時(1)所述方法不適用，理由是出現了x1gx2，y1y2，這是(1)中方法不能實現的，轉爲過F2的直線方程y=k(x-2)與二次曲線聯立(設k存在)
-
→(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0
1-k2≠0，反之，k≠±1，過F2的直線與漸近線平行，與雙曲線只有一個交點。
x1+x2=-，x1x2=-，
-g-=(1+k2)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+4k2+m2
=-+m2
若C(m，0)爲定點，-g-的解析式應消去k，這是推導的目標。
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