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2011年全國碩士研究生入學統一考試於1月15-16日進行,現在已經全部結束了。各位學生經過一年多的努力、拼搏,終於考完了所有的課程。對於考數學的考生來說,更希望了解今年數學試卷的總體特點;而對於很多准備參加2012年考試的學生也希望了解明年數學命題的趨勢,現針對線性代數部分的試題進行以下分析。
線性代數一共是5道考題,兩個選擇題,一個填空題,兩個解答題,兩個解答題是22分,今年這兩道大題都是計算題,並且數學一、二、三考得是完全一樣的,一道向量組線性表出的問題,一道有關實對稱矩陣的題目。相對於10年的線性代數題目來說,今年的線性代數題目與10年的題目難度相當,10年的兩個大題中,數一、數二、數三第一道大題都考察了一個帶參數非齊次線性方程組的求解,這道題涉及到了參數的問題以及非齊次線性方程組解的結構,而今年的第一道大題考察了兩個向量組之間可否線性表出的問題,其實質也是非齊次線性方程組的求解問題,但是相對10年的第一道題來說,靈活性稍微強一些。你首先要根據不能表出,即方程組無解確定待定參數,然後第二問:將用線性表示,實質上仍然是求解方程組,要求解三個系數矩陣均為的方程組,我們只需要將系數矩陣和常數項全部放在一起進行初等行變換即可,即對進行初等行變換。對於第二道大題,數一、數二、數三都考察了抽象實對稱矩陣的特征值和特征向量以及反求矩陣A。首先需要根據已知條件確定矩陣A的特征值,這就需要掌握矩陣特征值所具有的一些性質,例如:為三階矩陣,的秩為2,則A有一個特征值為0; ,其中是維列向量。則有個零特征值,另一個特征值為;A的各行元素之和均為3,則A有特征值為3等等。只有了解這些性質,纔能准確迅速的解答問題。這道題中通過一個矩陣方程以及,我們可以比較輕松的確定A的特征值為,,並且可以得到對應於的特征向量。然後還需要確定出對應的特征向量,這就需要用的實對稱矩陣的性質:不同特征值對應的特征向量是相互正交的,這個性質是實對稱矩陣中最常用也是最重要的一個性質,必須記住並會用。另外,需要說明的是讓求特征向量不能單單寫出一個向量,要寫出全部的特征向量,否則會扣分,這是大家需要注意的一個小的細節問題。第二問是需要反求矩陣A,只要求出特征值和特征向量,這一問相對來說就簡單了很多,主要涉及到的是矩陣相乘,是計算的問題。這是我們11年考的第二個線代大題,10年數一考察的是已知二次型在正交變換x=Qy下的標准形以及Q的第三列,反求A的問題,這也是一個抽象的問題,並且計算量有點大。相對來說,今年的線性代數題的兩道大題和10年的線性代數題難度相當。從今年出題的情況來看,考得很全面,六章,每一章都考到了,章章都有考的出題點,題目還是有一些靈活性的。
從大綱的角度來看,現在數一、數二、數三的考試大綱幾乎完全一樣,數一的同學多一個知識點,多一個向量空間,而今年恰好考了一個二次曲面的填空題,其實質是二次型化標准形的問題。線性代數今年這五道題來說,兩道解答題,數一、數二、數三完全一樣,選擇題有一個是完全一樣的,填空題是完全不一樣的,但這三道題都是考察二次型的題目。從這幾年考試的特點來看,線性代數題考得很基本,而線性代數題本身比較靈活,一道題往往有多種解法,基於這樣的情況,作為2012年的考生,如果要准備線性代數的復習的話,還是應該按照考研題的特點,重視基礎,把概念搞清楚,把基本的東西搞清楚。
以上我們從考試知識點方面對2011年考研數學試題線性代數部分考點進行了分析。從歷年的數學考題來看,命題組的專家都是緊緊扣住三基本,『基本概念、基本理論、基本方法』,試卷中基礎知識的考查佔有相當大的比例,所以對准備2012年考試的考生來說,復習時首先應該注重基本概念、基本原理的理解,弄懂、弄通教材,打一個堅實的數學基礎,書本上每一個概念、每一個原理都要理解到位,切不可開始就看復習資料而放棄課本的復習。在第一次的全面復習中,還要紮紮實實的把每個大綱要求的知識點都過一遍,查漏補缺;其次,注重公式的記憶,方法的掌握和應用。在研讀教材時要重視習題,不要求每個概念都背下來,但一定要熟習它是如何反映在題目中的;最後,要注意綜合。今年解答題主要是考察綜合能力,我們這種綜合能力不是簡單的一個知識點、兩個知識點,都是跨章節的,涉及多個知識點的綜合題。不管是線性代數還是概率論與數理統計,還是微積分,一定要加強綜合、加強訓練。你只有一步一個腳印,方法得當,一定能取得好成績。