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填空題大部分是計算題,但填空題不像一般計算題,它只看結果,不看過程。所以,若做計算題的准確率不高,填空題很容易失分。雖然填空題是計算題,但是它和大題裡面的計算題不一樣,它的側重點是很基本的計算,所以它涉及到的方法都是很基礎的,大部分都是平時訓練過的一些基本方法,特別是利用基本性質進行化簡。有部分選擇題還會涉及到一些技巧性的方法,如果掌握好了這些方法,可以讓考生節約很多時間以便做後面的計算題。下面,萬學海文數學考研
(微博)輔導專家們給2012年考研的同學們介紹考研中經常用到的四個技巧。
(一)利用幾何意義
【例1】【00年數一】
_________
【詳解】本題常規的解法是先把
根號裡面配方,再用三角代換,但計算量較大。實際上,本題根據定積分幾何意義立刻知道應該填
【例2】【91年數一】若隨機變量
服從均值為2,方差為
的正態分布,且
,則
_____________
【詳解】由於正態分布的密度函數是關於均值
對稱,由圖形可知
【例】【07年數一】在區間
中隨機地取兩個數,則這兩數之差的絕對值小於
的概率為____
【詳解】
(二)利用物理意義(重心,形心)
【例3】【94年數三】設
,則
_________
【詳解】積分域
實際上是圓域
由形心公式知:
,其中
分別表示區域
形心的
坐標和
坐標,
表示區域
的面積。本題中的圓域
形心顯然是圓心
,則
,而
,則
,
,故
【例4】【99年數三、四】計算二重積分
,其中
是由直線
以及曲線
所圍成的平面區域。
【詳解】從積分區域的圖形上可以看出
,積分域的面積
應為正方形的面積減去半圓面積,即
,因此
.
(三)利用對稱性和奇偶性
【例5】【87年數三、四】
________
【詳解】由於
為奇函數,且積分區域
關於原點對稱.
【例6】【94年數三、四】
_________.
【詳解】原式
【例7】【01年數二】
【詳解】
【例8】【94年數一、二】設區域
為
,則
= _______。
【詳解】由於積分域為
,由
和
的對稱性
,因此
.
【例】【07年數一】設曲面
,則
【解析】
,對於第一部分,由於積分區域關於
軸、
軸是對稱的面,被積函數
為
的奇函數,所以
又因
關於
輪換對稱,所以
那麼
,由曲面積分的幾何意義,
為曲面的表面積,所以
而
為8塊同樣的等邊三角形,每塊等邊三角形的邊長為
,所以
所以
(四)賦值法
【例9】【89年數一】已知
,則
_______
【詳解】令
滿足
,這時