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牛吃草問題,是數量關系部分令很多考生頭疼的問題。這類題看似很難,其實只要抓住了方法,就很容易解答。牛吃草問題經常給出不同頭數的牛吃同一片次的草,這塊地既有原有的草,又有每天新長出的草。由於吃草的牛頭數不同,求若乾頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。
牛吃草問題的解題關鍵是弄清楚已知條件,進行對比分析,從而求出每日新長草的數量,再求出草地裡原有草的數量,進而解答題總所求的問題。
解決問題的核心公式:y=(N-x)×T,其中y=草量,N=牛的頭數,x=草的生長速度,T=吃的天數。這個式子就是解決牛吃草問題的基礎,下面我們結合例題教給大家怎麼運用這一公式解答相關題:
1. 12頭牛4周吃完6公頃的牧草,20頭牛6周吃完12公頃的牧草。假設每公頃原有草量相等,草的生長速度不變。問多少頭牛8周吃完16公頃的牧草?( )
A. 16 B. 20 C. 24 D. 25
解析:C本題屬於『牛吃草問題』。現在是三塊面積不同的草地。6,12,16的最小公倍數是48。6×8=48,12×4=48,16×3=48。為了解決這個問題,只需將三塊草地的面積統一起來。公頃數擴大,所需牛的頭數也擴大。所以原題可變為:12×8=96頭牛4周吃完48公頃的牧草,20×4=80頭牛6周吃完48公頃的牧草。問多少頭牛8周吃完48公頃的牧草?根據『牛吃草問題』的核心公式:y=(N-x)×T,設每周新長出x單位的草,牧場原有y單位的草,根據題意可得:y=(96-x)×4;y=(80-x)×6,解得:x=48,y=192。設N頭牛8周吃完48公頃的牧草。則192=(3N-48)×8,得:3N=72,N=24。故24頭牛8周吃完16公頃的牧草。故選C。
2.牧場上有一片牧草,可以供27頭牛吃6天,供23頭牛吃9天,如果每天牧草生長的速度相同,那麼這片牧草可以供21頭牛吃幾天?( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
解析:B本題屬於『牛吃草問題』。根據『牛吃草問題』的核心公式:y=(N-x)×T,設每天新長出x單位的草,牧場原有y單位的草,根據題意可得:y=(27-x)×6;y=(23-x)×9,解得:x=15,y=72。設這片牧草可以供21頭牛吃T天,則72=(27-15)×T,得:T=6。故供21頭牛吃6天。故選B。
多塊草地的『牛吃草』問題,一般情況下找多塊草地的最小公倍數,這樣可以減少運算難度,但如果數據較大時,我們一般把面積統一為『1』相對簡單些。
牛吃草問題還應用於工程問題,行程問題,流水問題等等。
3.一個水池安裝有排水量相等的排水管若乾根,一根入水管不斷地往池裡防水,平均每分鍾入水量相等,如果同時開放3根排水管,45分鍾可以把池中水排完;同時,開放5根排水管25分鍾把池中水排完,那麼,同時開放8根排水管,幾分鍾排完池中的水?( )
A. 12 B. 14 C. 15 D. 18
解析:C本題屬於牛吃草問題。『進水管每分鍾進水』相當於『草』,『排水管』相當於『牛』,根據『牛吃草問題』的核心公式:y=(N-x)×T,設池中原有水y單位,進水管每分鍾進水x單位,可得:y=(3-x)×45,y=(5-x)×25,解得:x=0.5,y=112.5。設同時開放8根排水管,T分鍾排完池中的水。則112.5=(8-0.5)×T,得:T=15。同時開放8根排水管,15分鍾排完池中的水。故選C。
4.自動扶梯以勻速由下往上行駛,兩個性急的孩子嫌扶梯走得慢,於是在行駛的扶梯上,男孩每秒鍾向上走1梯級,女孩每3秒鍾走2梯級。結果男孩用50秒到達樓上,女孩用60秒到達樓上。該扶梯共有多少級?( )
A. 100 B. 120 C. 150 D. 180
解析:A本題屬於『牛吃草問題』。『總的草量』變成了『扶梯的梯級總數』,『草』變成了『梯級速度』,『牛』變成了『人的速度』。根據『女孩每3秒鍾走2梯級』,得女孩每秒鍾走3(2)梯級。根據『牛吃草問題』的核心公式:y=(N-x)×T,設扶梯的梯級總數為y,梯級速度為x。根據題意可得:y=(1+x)×50;y=(3(2)+x)×60,解得:x=1,y=100。則扶梯的梯級總數為100。故選A。
5.有三輛不同車速的汽車同時從同一地點出發,沿同一公路追趕前面的一個騎車人。這三輛車分別用3分鍾,5分鍾,8分鍾分別追上騎車人。已知快速車每小時54千米,中車速每小時39.6千米,那麼慢車的車速是多少(假設騎車人的速度不變)?
A. 31 B. 31.5 C. 32 D. 32.5
解析:B本題屬於『牛吃草問題』。『總的草量』變成了『車與人最初的距離』,『草』變成了『人的速度』,『牛』變成了『車的速度』。根據『牛吃草問題』的核心公式:y=(N-x)×T,設車與人最初的距離為y,人的速度為x。根據題意可得:y=(54-x)×3;y=(39.6-x)×5,解得:x=18,y=108。設丙車的速度為N。則108=(N-18)×8,解得:N=31.5。故丙車的速度為31.5。故選B。
運用核心公式計算牛吃草問題,給考生帶來很多方便,在熟悉公式的基礎上,做下面幾道練習題進行鞏固。
1. 20匹馬72天可吃完32公頃牧草,16匹馬54天可吃完24公頃的草。假設每公頃牧草原有草量相等且每公頃草每天的生長速度相同。那麼多少匹馬36天可吃完40公頃的牧草?( )
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
2.有一水井,繼續不斷湧出泉水,每分鍾湧出的水量相等。如果使用3架抽水機來抽水,36分鍾可以抽完,如果使用5架抽水機來抽水,20分鍾可抽完。現在12分鍾內要抽完井水,需要抽水機多少架?( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3.甲、乙、丙三輛車同時從a地出發,出發後6分鍾甲車超過了一名長跑運動員,過了2分鍾後乙車也超過去了,又過了2分鍾丙車也超了過去。已知甲車每分鍾走1000米,乙車每分鍾走800米,求丙車的速度。( )
A. 560 B. 620 C. 680 D. 700
4.牧場長滿牧草,每天牧草勻速生長,這片牧場可供10頭牛吃20天,可供15頭牛吃10天。問可供25頭牛吃幾天?( )
A. 4 B.6 C. 8 D. 5