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排列組合與概率問題在國家公務員考試中出現頻率較大,幾乎每年都會考查該類題型。公務員的日常工作更多涉及到統計相關知識,因此這部分題型會愈加被強調。
在現實生活中我們經常會遇到排座次、分配任務等問題,用到的都是排列組合原理,即便是最簡單的概率問題也要利用排列組合原理計算。與此同時,排列組合中還有很多經典問題模型,其結論可以幫助我們速解該部分題型。
一、基礎原理
二、基本解題策略
面對排列組合問題常用以下三種策略解題:
1. 合理分類策略
①類與類之間必須互斥(互不相容);②分類涵蓋所有情況。
2. 准確分步策略
①步與步之間互相獨立(不相互影響);②步與步之間保持連續性。
3. 先組後排策略
當排列問題和組合問題相混合時,應該先通過組合問題將需要排列的元素選擇出來,然後再進行排列。
【例題1】班上從7名男生和5名女生中選出3男2女去參加五個競賽,每個競賽參加一人。問有多少種選法?
A.120 B.600 C.1440 D.42000
中公解析:此題答案為D。此題既涉及排列問題(參加五個不同的競賽),又涉及組合問題(從12名學生中選出5名),應該先組後排。
三、概率問題
概率是一個介於0到1之間的數,是對隨機事件發生可能性的測度。概率問題經常與排列組合結合考查。因此解決概率問題要先明確概率的定義,然後運用排列組合知識求解。
1. 傳統概率問題
2. 條件概率
在事件B已經發生前提下事件A發生的概率稱為條件概率,即A在B條件下的概率。
P(AB)為AB同時發生的概率,P(B)為事件B單獨發生的概率。
【例題3】小孫的口袋裡有四顆糖,一顆巧克力味的,一顆果味的,兩顆牛奶味的。小孫任意從口袋裡取出兩顆糖,他看了看後說,其中一顆是牛奶味的。問小孫取出的另一顆糖也是牛奶味的可能性(概率)是多少?
四、排列組合問題特殊解法
排列組合問題用到的方法比較特殊,緣於這些方法都是在對問題進行變形,把不容易理解的問題轉化為簡單的排列組合問題。
1. 捆綁法
排列時如要求幾個元素相鄰,則將它們捆綁起來視為一個整體參與排列,然後再考慮它們內部的排列情況。
【例題4】某展覽館計劃4月上旬接待5個單位來參觀,其中2個單位人較多,分別連續參觀3天和2天,其他單位只參觀1天,且每天最多只接待1個單位。問:參觀的時間安排共( )種。
A.30 B.120 C.2520 D.30240
2. 插空法
排列時如要求幾個元素不相鄰,則把不能相鄰的元素插到其他元素形成的“空隙”中去。
【例題5】將三盆同樣的紅花和四盆同樣的黃花擺放成一排,要求三盆紅花互不相鄰,共有多少種不同的方法?
A.8 B.10 C.15 D.20
3. 插板法
若要求把n個元素分成m堆(每堆至少有1個),則把(m-1)個木板插入這n個元素形成的(n-1)個“空隙”中去可實現上述要求。
【例題6】某單位訂閱了30份學習材料發放給3個部門,每個部門至少發放9份材料。問一共有多少種不同的發放方法?
A.7 B.9 C.10 D.12
【例題7】一張節目表上原有3個節目,如果保持這3個節目的相對順序不變,再添進去2個新節目,有多少種安排方法?
A.20 B.12 C.6 D.4
5. 分析問題對立面
很多問題分類討論起來很麻煩,但是它的對立面卻很好計算,此時只需要算出總體的情況數再減去對立面的情況數。
【例題8】某班同學要訂A、B、C、D四種學習報,每人至少訂一種,最多訂四種,那麼每個同學有多少種不同的訂報方式?
A.7種B.12種C.15種D.21種
解析:從中公的命題分析來看,題中的事件有多種情況,最直接的方法自然是分類討論,但類別太多,此時應優先考慮它的對立面,看是不是要比問題本身簡單。
“至少1種,至多4種”,結合題乾,其反面是“1本都不訂”。每種報紙有訂或不訂2種選擇,則共有2×2×2×2=16種訂法,反面情況為1種,則所求就是16-1=15種。
五、經典問題模型
排列組合中有若乾經典問題分析起來較復雜,我們可直接利用這類問題的結論。其中主要介紹以下三類經典問題:環線排列問題、錯位重排問題、傳球問題。我們需要記住這些問題的結論。