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行程問題一直以來都是公務員考試中的熱點問題,考試中出現的頻率比較高,是值得廣大考生關注的一類問題,下面華圖公務員考試研究中心和大家探討一下行程問題中的追及問題。
相遇追及問題在公務員考試中包括兩種情況,一種是指在一定時間內,後面的運動物體追上前面的,那麼原來兩個運動物體相差的距離為追及距離;另一種是指兩個運動物體同時同地出發做同向運動,由於二者的速度不同會導致走過的路程不同,二者的路程差即為追及距離。
追及問題的核心公式如下:
追及距離=(大速度-小速度)×追及時間
【例1】姐弟倆出游,弟弟先走一步,每分鍾走40米,走80米後姐姐去追他。姐姐每分鍾走60米,姐姐帶的小狗每分鍾跑150米。小狗追上弟弟又轉去找姐姐,碰上姐姐又轉去追弟弟,這樣跑來跑去,直到姐弟相遇小狗纔停下來。問小狗共跑了多少米? ( )
A.600 B.800
C.1200 D.1600
【答案】A
【解析】本題目屬於行程問題中的追及問題,問題是小狗跑了多少米,題目給出了小狗的速度,只要找到狗跑的時間那題目就迎刃而解了,根據題意,小狗跑的時間等同於姐弟相遇的時間,而姐弟的運動過程屬於追及問題,那麼追及時間t=80/(60-40)=4min,因此狗跑的距離=150×4=600m。答案選擇A。
【點撥】本題目中如果研究小狗的運動軌跡相當於多次相遇問題,而題目的難點,是在於發現小狗運動的時間等於姐弟兩人的追及時間,如果發現這一點,那問題就簡單了。
【例2】甲每分鍾走80米,乙每分鍾走72米,兩人同時從A地出發前往B地,乙比甲多用4分鍾,求AB兩地的距離。( )
A.320 B.288
C.1440 D.2880
【答案】D
【解法一】本題目是行程問題。設AB的距離是S,甲到達B地的時間為t,根據題意列方程:S=80×t,S=72×(t+4),解得:t=36,S=2880。答案選擇D。
【解法二】本題目的本質是追及問題。甲乙二人同時從A地出發,當甲到達B地時乙還沒到,此時甲乙二人之間相差的距離即為追及距離,追及距離等於乙走4分鍾的路程,那麼追及時間t=72×4/(80-72)=36min,說明甲用了36min從A地走到了B地,所以AB兩地的距離S=80×36=2880m。
【點撥】如果本題目我們能夠發現是追及問題,那麼就省掉了列方程和解方程的時間,計算過程更簡化。
【例3】甲、乙二人同時從A地去B地,甲每分鍾行60米,乙每分鍾行90米,乙到達B地後立即返回,並與甲相遇,相遇時,甲還需行3分鍾纔能到達B地,問A、B兩地相距多少米?( )
A.1350米B.1080米
C.900米D.720米
【答案】C
【解法一】本題目是行程問題。設AB的距離為S,甲乙相遇的時間為t,根據題意得:2S=(60+90)×t,S=60×(t+3),解得:t=12,S=60×15=900。答案選擇C。
【解法二】本題目的本質是追及問題。甲乙二人同時從A地出發,當乙到達B地已經折回時甲還沒到,此時甲乙二人之間相差的距離即為追及距離,追及距離等於2倍的甲走3分鍾的路程,那麼追及時間t=2×60×3/(90-60)=12min,說明甲乙的相遇時間是12min,此時甲還需再走3min纔能到達B地,所以AB兩地的距離S=60×15=900m。
【點撥】與前面例題一樣,如果當做追及問題來解決,就省掉了列方程和解方程的時間,計算過程更簡化,但是同學們要注意,在本題中甲乙的追及距離是甲走3分鍾的距離的2倍。
【例4】甲、乙兩人沿直線從A地步行至B地,丙從B地步行至A地。已知甲、乙、丙三人同時出發,甲和丙相遇後5分鍾,乙與丙相遇。如果甲、乙、丙三人的速度分別為85米/分鍾、75米/分鍾、65米/分鍾。問AB兩地距離為多少米?( )
A.8000米B.8500米
C.10000米D.10500米
【答案】D
【解法一】本題目是行程問題。根據題意可知,甲丙、乙丙各相遇一次,設AB的距離是S,甲丙相遇的時間為t,那麼根據兩次相遇的運動軌跡可列方程:S=(85+65)×t=150×t,S=(75+65)×(t+5)=140×(t+5),解得:t=70,S=150×70=10500。答案選擇D。
另外本題目列出方程後根據S=(85+65)×t=150×t可知S應該是3的倍數,結合數字特性可以選擇D選項。
【解法二】本題目的本質是追及問題。甲乙二人同時從A地出發,當甲丙相遇時乙丙還沒相遇,那麼此時甲乙之間的距離為追及距離,追及等於乙丙共同走5min的距離,那麼追及時間t=(75+65)×5/(85-75)=70min,說明甲丙的相遇時間是70min,所以AB兩地的距離S=(85+65)×70=10500m。
【點撥】與前面例題一樣,如果當做追及問題來解決,就省掉了列方程和解方程的時間,但值得注意的是,在本題中追及距離是乙丙二人共同走5min的距離,而不是乙一個人走5min的距離。另外如果本題目的關系比較難理清的話我們也可以借助畫圖來思考。
對於以上的這些例題,如果我們發現其本質就是追及問題的話,那計算過程就簡單多了,但是大家要注意的是,尋找追及距離的時候一定要找准確,在題目中給出的信息比較復雜時可以借助畫圖來思考。華圖公務員考試研究中心希望各位同學仔細揣摩,在考試中取得理想的成績。